Table of Contents
ম্যাথমেটিকাল ফ্যালাসি
আমরা অনেক সময় কোন অভেদ বা সমীকরণের উভয় পক্ষে অসতর্কতাবশত এমন একটি রাশি দিয়ে ভাগ করে ফেলি, যার মান শূন্য । আবার বর্সমূল নির্ণয়ে শুধু ধনাত্মক কিংবা শুধু ঋণাত্মক চিহ্ন যুক্ত সংখ্যা ব্যবহার করি । অথবা ঋণাত্মক সংখ্যার লগারিদম নিয়ে ক্যালকুলেশন করে থাকি । এর ফলে এমন একটি সিদ্ধান্তে উপনিত হই যা বাস্তবতা বিরোধী । একে ম্যাথমেটিকাল ফ্যালাসি বলে । এখানে কিছু ম্যাথমেটিকাল ফ্যালাসি নিয়ে আলোচনা করব ।
অনির্ণেয় আকার
গণিতে কিছু আকার আছে যার মান আমরা নিশ্চিতভাবে বলতে পারি না। এ ধরনের আকারকে অনির্ণেয় আকার বলে । এমন একটি অনির্ণেয় আকার হল । অর্থাৎ কোনো সংখ্যাকে “শূন্য” ছারা ভাগ করলে কী ফলাফল হবে তা গণিতে বর্ণনা করা যায়নি । ফলে আমরা কোন সংখ্যাকে “শূন্য দিয়ে ভাগ করতে পারব না । কিন্তু কিছু প্রমাণ করার সময় আমরা এই কাজটিই করে থাকি । তার ফলে অসম্ভব কোন ফলাফল আসে । নিচে উদাহরণ উপস্থাপন করা হল ।
উদাহরণ ১।
বাখ্যা : চতুর্থ লাইন থেকে পঞ্চম লাইন অশুদ্ধ | কারণ a-b অর্থাৎ শূন্য দ্বারা ভাগ করা হয়েছে যা সম্ভব নয়।
রুট বা বর্গমূলের ধর্ম
‘ক’ ধনাত্মক সংখ্যা হলে ‘ক’ এর বর্গমূল বাস্তব সংখ্যা হবে। কিন্তু ‘ক’ ঋণাত্মক সংখ্যা হলে তার বর্গমূল বাস্তব হবে না। এ ধরনের সংখ্যাকে কাল্পনিক সংখ্যা বলে । রুট এর ভেতরের দুটি ঋণাত্মক সংখ্যার গুনফল কী হবে তা গণিতে ব্যাখ্যা করা হয়নি। কিছু প্রমাণ করার সময় এই কাজটিই করে থাকি । তার ফলে অসম্ভব কোন ফলাফল আসে। নিচে উদাহরণ উপস্থাপন করা হল।
উদাহরণ ২।
ব্যাখ্যা : দ্বিতীয় লাইন অশুদ্ধ । কারণ রুটের ভেতরে দুইটি ঋণাত্মক সংখ্যা গুণ করা হয়েছে ।
বর্গমূল নির্ণয়
সমীকরণ সমাধান করার সময় উভয় পক্ষে বর্গমূল করার প্রয়োজন হয় । তখন বর্গমূল করে + চিহ্ন ব্যবহার করা হয়। + চিহ্নের অর্থ হয় + অথবা – যা নির্দেশ করে + হতে পারে বা – হতে পারে বা ‘+ এবং – উভয় হতে পারে । কিছু প্রমাণ + এর জন্য আবার কিছু প্রমাণ – এর জন্য সঠিক ফলাফল প্রদান করে ৷ নিচে উদাহরণ উপস্থাপন করা হল ।
উদাহরণ ৩।
ব্যাখ্যা : পঞ্চম লাইন থেকে ষষ্ঠ লাইন অশুদ্ধ । কারণ বর্গমূল করার পর খণাত্মক চিহ্নের জন্য প্রমাণটি সত্য, কিন্তু এখানে ধনাত্মক চিহ্ন নেওয়া হয়েছে।
ঋণাত্মক সংখ্যার লগারিদম
লগারিদমের অ্যাঙ্গেলে কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা এলে লগারিদমটি অসংজ্ঞায়িত হয়ে যায় । তাই ঋণাত্মক অ্যাঙ্গেল নিয়ে লগারিদমে কোনো ক্যালকুলেশন করা যায় না। কিছু প্রমাণ করার সময় আমরা এই কাজটিই করে থাকি । তার ফলে অসম্ভব কোন ফলাফল আসে । নিচে উদাহরণ উপস্থাপন করা হল ।
উদাহরণ ৪ ।
ব্যাখ্যা : প্রথম লাইন অশুদ্ধ । কারণ লগারিদমের অ্যাঙ্গেল –1 অর্থাৎ খণাত্মক হতে পারবে না ।
চলক ও ধ্রুবক
চলক হল এমন একটি রাশি যার মান নির্দিষ্ট নয় । যে রাশির মান নির্দিষ্ট তাকে ধ্রুবক বলা হয় । চলককে x,y,z ইত্যাদি প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় । কোনো ক্যালকুলেশনে x কে নির্দিষ্ট সংখ্যা হিসাবে ধরা যাবে না।
উদাহরণ ৫ |
ব্যাখ্যা : দ্বিতীয় লাইন অশুদ্ধ । কারণ এখানে x কে চলক হিসাবে ব্যবহার না করে নির্দিষ্ট সংখ্যা হিসাবে ব্যবহার করা হয়েছে । ২ এর বর্গ বলতে দুইটি ২ এর যোগফল বোঝালেও, x এর বর্গ বলতে x টি x এর বর্গ বলতে x টি x এর যোগফল বোঝায় না।
অসীম ধারা : অসীম ধারা বিশিষ্ট কোনো রাশির সাথে কোনো সংখ্যা যোগ বা বিয়োগ করলে রাশিটির মানের কোনো পরিবর্তন হয় না । অসীম ধারার এই অসীমতা কাজে লাগিয়ে কিছু প্রমাণ করা হয় যা অসম্ভব কোন ফলাফল প্রদান করে । নিচে উদাহরণ উপস্থাপন করা হল।
উদাহরণ ৬।
ব্যাখ্যাঃ এখানে অসীম ধারা ব্যবহার করা হয়েছে।
আরও দেখুনঃ ইংরেজি ভাষা শেখার সহজ কৌশল
